Setelah mengenali sifat semula jadi ruang masa empat dimensi, kita akan dibawa ke metrik Minkowski, η, diberi dalam komponen (sah dalam mana-mana rangka rujukan) sebagai

η α β = η α β = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}

Kemudian kita mengenali transformasi koordinat di antara rangka rujukan inersia yang diberi oleh tensor transformasi Lorentz Λ. Bagi kes khas gerakan sepanjang paksi x, kita mempunyai:

Λ μ ν = ( γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}

iaitu β dan γ ditakrifkan sebagai

β = v c , γ = 1 1 − β 2 . {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}

Ini memudahkan hampir setiap rumus yang dijumpai dalam kerelatifan khas. Kita faham yang semua kuantiti fizik diberikan oleh tensor. Maka, untuk bertukar dari satu rangka ke rangka yang lain, kita menggunakan hukum tensor transformasi

T [ j 1 ′ , j 2 ′ , . . . j q ′ ] [ i 1 ′ , i 2 ′ , . . . i p ′ ] = Λ i 1 ′ i 1 Λ i 2 ′ i 2 . . . Λ i p ′ i p Λ j 1 ′ j 1 Λ j 2 ′ j 2 . . . Λ j q ′ j q T [ j 1 , j 2 , . . . j q ] [ i 1 , i 2 , . . . i p ] . {\displaystyle T_{\left[j_{1}',j_{2}',...j_{q}'\right]}^{\left[i_{1}',i_{2}',...i_{p}'\right]}=\Lambda ^{i_{1}'}{}_{i_{1}}\Lambda ^{i_{2}'}{}_{i_{2}}...\Lambda ^{i_{p}'}{}_{i_{p}}\Lambda _{j_{1}'}{}^{j_{1}}\Lambda _{j_{2}'}{}^{j_{2}}...\Lambda _{j_{q}'}{}^{j_{q}}T_{\left[j_{1},j_{2},...j_{q}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},...i_{p}\right]}.}

Untuk lihat betapa bergunanya hukum ini, mula-mula kita mengenali posisi tersebut adalah empat vektor, memandangkan dalam bentuk komponen

x ν = ( − c t , x , y , z ) . {\displaystyle x_{\nu }=\left(-ct,x,y,z\right).}

Maka, untuk menukarnya dari sistem koordinat S ke sistem S', kita mengira

( c t ′ x ′ y ′ z ′ ) = x ′ μ = Λ μ ν x ν = ( γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( c t x y z ) = ( γ c t − γ β x γ x − β γ c t y z ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct-\gamma \beta x\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}.}

yang merupakan cara elok untuk sampai ke takrifan transformasi Lorentz yang merumitkan. Tetapi kuasa sebenar menjadi bukti apabila anda mendapati yang semua tensor bertukar dengan peraturan yang sama. Mula-mula, perhatikan yang skalar (sebenarnya kepanjangan posisi empat vektor) terbentuk seperti berikut:

| x | = x μ x μ = η μ ν x μ x ν = − ( c t ) 2 + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle |x|=x^{\mu }x_{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\,}

adalah takvarian - dalam kata lain, ia mengambil nilai yang sama dalam semua rangka inersia, hanya kerana ia adalah tensor tahap 0, maka tiada salinan Lorentz muncul dalam transformasinya: |x'| = |x|.

Mengenali yang kuantiti fizik yang lain sebagai tensor juga memudahkan hukum penukaran. Pertama, perhatikan yang halaju empat-vektor U diberi sebagai

U μ = d x μ d τ . {\displaystyle U^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}.}

Dengan ini, kita boleh menukar hukum tentang penambahan halaju yang kelihatan pelik kepada pernyataan ringkas tentang penukaran halaju empat-vektor bagi satu zarah dari satu rangka ke yang lain. Tenaga-momentum empat-vektor diberi oleh (dan dalam bentuk komponen)

p μ = m 0 U μ = ( E c p x c p y c p z ) . {\displaystyle p^{\mu }=m_{0}U^{\mu }={\begin{pmatrix}E\\cp_{x}\\cp_{y}\\cp_{z}\end{pmatrix}}.}

Ini memberikan kita takvarian

| p | = p μ p μ = − E 2 + ( p c ) 2 . {\displaystyle |p|=p^{\mu }p_{\mu }=-E^{2}+(pc)^{2}.\,}

Kita boleh dapatkan apakah takvarian ini dengan menyangkal, memandangkan ia adalah satu skalar, tidak kisah rangka rujukan mana yang dikira, dan dengan menukar ke rangka yang momentum keseluruhan adalah sifar. Kemudian kita akan dapat keputusan

E = m 0 c 2 . {\displaystyle E=m_{0}c^{2}.\,}

Contoh yang selanjutnya bagi tensor fizik adalah tensor medan elektromagnet, dan tensor ketegangan-tenaga, dan sekali lagi transformasinya diberikan oleh hukum transformasi tensor mudah.

Medan elektrik [ E x , E y , E z ] {\displaystyle [E_{x},E_{y},E_{z}]} dan medan magnet [ B x , B y , B z ] {\displaystyle [B_{x},B_{y},B_{z}]} kini disatukan kepada tensor medan elektromagnet:

F μ ν ≡ ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ) {\displaystyle F_{\mu \nu }\equiv {\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}

Cas ketumpatan ρ {\displaystyle \rho } dan arus ketumpatan [ J x , J y , J z ] {\displaystyle [J_{x},J_{y},J_{z}]} disatukan kepada arus-cas 4-vektor:

J μ = ( ρ c J x J y J z ) . {\displaystyle J^{\mu }={\begin{pmatrix}\rho c\\J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{pmatrix}}.}

dan persamaan Maxwell dikurangkan kepada dua. (lihat Formulasi persamaan Maxwell dalam kerelatifan khas)

∂ μ F μ ν = μ 0 J ν {\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=\mu _{0}J_{\nu }}	(Hukum Ampere-Gauss)
∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0 {\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0}	(Hukum Faraday-Gauss)

Iaitu ∂ {\displaystyle \partial } merupakan kembangan kecerunan ruang-masa:

∂ ν = ∂ ∂ x ν {\displaystyle \partial _{\nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}}